生物力學中的截止頻率與殘差分析 (Cutoff Frequency and Residual Analysis in Biomechanics)
在運動生物力學的分析裡面，經常會使用到資料平滑處理(Data Smoothing)的技術，無論是在處理肌肉表面電位(sEMG)或是運動學資料，這邊要討論的是在選擇數位濾波器(Digital Filtering)的時候，該如何決定截止頻率(Cutoff frequency)與使用殘差分析作資料的判讀。
在Research method in biomechanics 4ed中對截止頻率的定義為頻率強度(frequency's power)下降一半的位點，或是等同於振幅(amplitude)降低$\frac{ \sqrt{2}}{2}$，或是降低到-3分貝(decibels)，或是等同於振幅降低到原始振幅的0.707。
下圖為腳趾光球點經過低通濾波器後的資料。
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| Figure from: Biomechanics and motor control of human movement (2009) |
以下是Biomechanics and motor control of human movement (2009)中提到殘差分析(Residual analysis)的公式，最終就是希望利用殘差公式找到該參數的截止頻率。
$R(f_c) = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{(X_i - \hat{X_i})^2}}$
$f_c$: 是濾波器的截止頻率
$X_i$: 在i點的原始資料
$\hat{X_i}$: 在i點的被濾波完的資料
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| Figure from: Biomechanics and motor control of human movement (2009) |
運動生物力學最常使用的濾波器為Butterworth filter，雖然他的transtion band比較平緩，但是因為他的頻率通帶是平坦的，所以較不會影響訊號品質。但是在使用數位濾波器的時候還有一樣東西需要考慮，就是不同濾波器的Group delay或是稱作Phase delay，在FIR filter他的group delap是線性的，因此較好做後續的處理，但是Butterworth filter是屬於IIR filter，他的Group delay是非線性。
對於Group delay的相關問題，建議閱讀以下資料
Matlab: Practical Introduction to Digital Filtering
https://www.mathworks.com/help/signal/ug/practical-introduction-to-digital-filtering.html
因此現行的解決方法為將訊號進行兩次IIR濾波，一次forword、一次reverse，就能剛好將Group delay抵銷，但是這又出現一個新的問題，進行兩次濾波與一次濾波的transtion band是不同的，兩次濾波有較為陡峭的Transition band，如下圖所示。
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| Figure from: Biomechanics and motor control of human movement (2009) |
$C = (2^\frac{1}{n} - 1)^{0.25}$
n為通過次數，所以對於dual pass，C = 0.802
而對於Critically damped filter的校正係數如下
$C = (2^\frac{1}{2n} - 1)^{0.5}$
References
1. Robertson, D. G. E., Caldwell, G. E., Hamill, J., Kamen, G., & Whittlesey, S. (2013). Research methods in biomechanics. Human kinetics.
2. Winter, D. A. (2009). Biomechanics and motor control of human movement. John Wiley & Sons.
3. https://www.codeproject.com/Articles/1267916/Multi-pass-Filter-Cutoff-Correction
4. https://nbviewer.org/github/BMClab/BMC/blob/master/notebooks/ResidualAnalysis.ipynb
